অনুশীলনী 9.4
1. ABCD এটা চতুৰ্ভূজৰ AB, BC, CD আৰু DA ৰ মধ্য়বিন্দু ক্ৰমে PQR আৰু S । AC ইয়াৰ কৰ্ণ।
(i) SRII AC আৰু SR =1/2 AC
(ii) PQ = SR
(iii) PQRS এটা সামন্তৰিক
উত্তৰঃ
(i) DAC ত্ৰিভূজৰ,
∵SDA আৰু RDC বাহুৰ মধ্য়বিন্দু
∴SRIIAC আৰু SR= 1/2 AC মধ্য়বিন্দুৰ উপাপাদ্য়
(ii) ∆BAC ত্ৰিভূজৰ,
∵P,AB আৰু Q,BC বাহুৰ মধ্য়বিন্দু
∴PQIIAC আৰু PQ= 1/2 AC মধ্য়বিন্দু উপাপাদ্য়
∵SR= 1/2 AC
∴PQ=SR
(iii) PQIIAC
SRIIAC
∴ PQIISR আৰু PQ = SR
∴PQRS এটা সামন্তৰিক।
2. ABCD এটা ৰম্বাছ। AB, BC, CD আৰু DA ৰ মধ্য়বিন্দু ক্ৰমে P, Q, R আৰু S । PQRS এটা আয়ত।
উত্তৰঃ
∆ RDS আৰু ∆PBQ পৰা-
DS = QB
DR = PB [∵ABCD সামন্তৰিক]
<SDR= <QBP
∴ ∆RDS ≅ ∆PBQ (SAS)
∴SR=PQ
আকৌ, ∆RCQ আৰু ∆PAS পৰা-
RC = AP
CQ = AS [∵ABCD সামন্তৰিক]
<RCQ = <PAS
∴ ∆RCQ ≅ ∆PAS (SAS)
∴RQ=SP
Now, PQRS চতুৰ্ভূজৰ
SR = PQ আৰু RQ = SP
∴PQRS এটা সামন্তৰিক।
আকৌ, ∆CBD পৰা-
R আৰু Q ক্ৰমে DC আৰু বাহুৰ মধ্য়বিন্দু।
∴RQIIDB=RFIIEO
∴OFRE এটা সামন্তৰিক।
∴ <R= <EOF= 90O
∴PQRS এটা আয়ত।
3. ABCD এটা আয়ত আৰু P,Q,R, আৰু S ক্ৰমে AB, BC, CD আৰু DA বাহুৰ মধ্য়বিন্দু। PQRS চতুৰ্ভূজটো এটা ৰম্বাছ।
উত্তৰঃ
অংকনঃ AC যোগ কৰা হ’ল।
∆ ABC ত্ৰিভঊজৰ পৰা-
P আৰু Q ক্ৰমে AB আৰু BC মধ্য়বিন্দু।
∴PQIIAC আৰু PQ=1/2 AC (a)
∆ADC ত্ৰিভূজৰ পৰা-
S আৰু R ক্ৰমে AD আৰু DC ৰ মধ্য়বিন্দু।
∴ SRIIAC আৰু SR = 1/2 AC (b)
(a) আৰু (b) পৰা-
PQIISR আৰু PQ = SR (c)
∴PQRS এটা সামন্তৰিক
ABCD আয়ত।
AD = BC
1/2 AD= 1/2 BC
AS = BQ
∆APS আৰু ∆BPQ ত্ৰিভূজৰ,
AP = BP
AS = BQ
<PAS= <PBQ (=90O)
∴ ∆APS ≅ ∆BPQ (SAS)
∴PS=PQ (a)
(c) আৰু (d) পৰা PQRS এটা ৰম্বাছ।
4. ABCD ট্ৰেপিজিয়াম। ABIIDC, BD এডাল কৰ্ণ আৰু E AD ৰ মধায়বিন্দু। E বিন্দুৰে যোৱা ABৰ সমান্তৰাল ভাবে অকাঁ ৰেখাডালে BC ক F বিন্দুত ছেদ কৰিছে। দেখুওৱা যে F, BCৰ মধ্য়বিন্দু।
উত্তৰঃ
ধৰো, DB আৰু EF য়ে G বিন্দুত কটাকটি কৰিছে।
∆DAB ত্ৰিভূজত,
∵E,DA বাহুৰ মধ্য়বিন্দু ।
আকৌ,∆BDC ত্ৰিভূজৰ,
∵G,BD মধ্য়বিন্দু আৰু GFIIABIIDC
∴F,BC ৰ মধ্য়বিন্দু।
5. ABCD সামন্তৰিকৰ E আৰু Fবিন্দু দুটা ক্ৰমে AB আৰু CD বাহুৰ মধ্য়বিন্দু। দেখুওৱা যে AFআৰু EC ৰেখাখণ্ডাই BD কৰ্নক সমানে ভাগ কৰে।
উত্তৰঃ
∵ABIIDC ABCD এটা সামন্তৰিক
∴AEIIFC (a)
∵AB=DC
∴ 1/2 AB= 1/2 DC
AE = CF (b)
(a) আৰু (b) পৰা-
AECF এটা সামন্তৰিক।
∴ECIIAF (c)
আকৌ, ∆DBC ত্ৰিভূজৰ,
∵F,DC ৰ মধ্য়বিন্দু
DP = PQ (d)
একেদৰে, ∆BAP HJE-
BQ = PQ (e)
(d) আৰু (e) পৰা-
DP = PQ = BQ
AF আৰু EC ৰেখাই BD সমত্ৰিখণ্ডিত কৰে।
6. চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত বাহুত মধ্য়বিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ডক দুডাল পৰস্পৰ সমদ্ধিখণ্ডিত হয়।
উত্তৰঃ
PQ, QR, RS, SP, AC আৰু BD সংযোগ কৰা হ’ল।
∆ABC ত্ৰিভূজৰ পৰা,
∵R আৰু ABআৰু BC ৰ মধ্য়বিন্দু
∴RQIIAC আৰু RQ= 1/2 AC
∴PQRS এটা সামন্তৰিক।
যিহেতু সামন্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমদ্ধিখণ্ডিত হয় গতিকে PR আৰু QS পৰস্পৰ সমদ্ধিখণ্ডিত হয়।
7. ∆ABC ৰ <C=90O। AB অতিভূজৰ মধ্য়বিন্দু M ৰে যোৱাকৈ আৰু BCৰ সমান্তৰালকৈ অঁকা ৰেখাই AC ক D বিন্দুত কাটিছে।
(i) D, AC ৰ মধঘ্য়বিন্দু।
(ii) MD⊥AC
(iii) CM = MA = /2 AB
উত্তৰঃ
(i) ∆ACB ত্ৰিভূজৰ,
∵M,AB ৰ মধ্য়বিন্দু আৰু MDIIBC
∴D,AC ৰ মধ্য়বিন্দু হ^’ ব।
(ii) ∵MDIIBC আৰু AC য়ে ইহতক কাটিছে।
∴ <ADM= <ACB
∴ <ADM= 90O ∵ <ACB=90O
MD⊥AC
(iii) এতিয়া, <ADM+ <CDM= 180O
∴ <ADM= 90O = <CDM
∆ADM আৰু ∆CDM পৰা-
AD = CD
<ADM= <CDM (=90O)
DM = MD (সাধাৰণ বাহু)
∴ ∆ADM ≅ ∆CDM (SAS)
∴MA=MC
কিন্তু, M,AB ৰ মধ্য়বিন্দু
∴MA=MC= 1/2 AB
CM = MA = 1/2 AB
